Bài tập 24, § 4

(a) Cho $A$ là một vành và $M, N$ là hai $A$-môđun sao cho $M$ sinh hữu hạn. Chứng minh rằng $\operatorname{Supp}(\operatorname{Hom}_A(M, N))$ được chứa trong giao $\operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(N)$.

(b) Cho một ví dụ trong đó $M$ và $N$ đều được trình bày hữu hạn và $\operatorname{Supp}(\operatorname{Hom}_A(M, N))$ được chứa thực sự trong $\operatorname{Supp}(M) \cap \operatorname{Supp}(N)$ (lấy $A = \mathbf{Z}_{(p)}$ và $N = A$).

(c) Cho $M$ là $\mathbf{Z}$-môđun là tổng trực tiếp của các $\mathbf{Z}/p^k\mathbf{Z}$ ($p$ nguyên tố, $k \in \mathbf{N}$). Chứng minh rằng $\operatorname{Supp}(\operatorname{Hom}_{\mathbf{Z}}(M, M))$ không được chứa trong $\operatorname{Supp}(M)$.