Exercice 25, § 4

Soient $A$ un anneau noethérien, $X = \operatorname{Spec}(A)$ son spectre, $M$ un $A$-module de type fini et $Y = \operatorname{Supp}(M)$. Soient $Y_k$ ($1 \leq k \leq n$) les composantes connexes distinctes de $Y$.

a) Montrer qu’il existe une et une seule décomposition de $M$ en somme directe $M = M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_n$ telle que $\operatorname{Supp}(M_k) = Y_k$ pour tout $k$.

b) Si $\alpha = \operatorname{Ann}(M)$ et $\alpha_k = \operatorname{Ann}(M_k)$, montrer que les $\alpha_k$ sont deux à deux étrangers et que $\prod_{k=1}^n \alpha_k = \alpha$.

(En utilisant la prop. 17 du n° 4, se ramener au cas où $\alpha = 0$, $Y = X$, et appliquer la prop. 15 du n° 3.)