Bài tập 25, § 4

Cho $A$ là một vành Noether, $X = \operatorname{Spec}(A)$ là phổ của nó, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $Y = \operatorname{Supp}(M)$. Gọi $Y_k$ ($1 \leq k \leq n$) là các thành phần liên thông phân biệt của $Y$.

(a) Chứng minh rằng tồn tại một phân tích duy nhất của $M$ thành một tổng trực tiếp $M = M_1 \oplus M_2 \oplus \ldots \oplus M_n$ sao cho $\operatorname{Supp}(M_k) = Y_k$ với mọi $k$.

(b) Nếu $a = \operatorname{Ann}(M)$ và $a_k = \operatorname{Ann}(M_k)$, chứng minh rằng các $a_k$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một và rằng $\prod_{k=1}^n a_k = a$.

(Dùng Mệnh đề 17 của no. 4, rút gọn về trường hợp $a = 0$ và $Y = X$ rồi áp dụng Mệnh đề 15 của no. 3.)