Exercice 26, § 4

Soit $\varphi : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux, tel que l’application $^a\varphi : \mathrm{Spec}\,(B) \to \mathrm{Spec}\,(A)$ soit surjective. Soit $N$ un $A$-module de type fini ; montrer que, si $u : M \to N$ est un homomorphisme de $A$-modules tel que $u \otimes 1 : M_{(B)} \to N_{(B)}$ soit surjectif, alors $u$ est surjectif (appliquer la prop. 19 du n° 4 à $\mathrm{Coker}\,(u)$).