Exercice 11, § 5

Soit K un corps de caractéristique $\neq 2$; on considère un polynôme $g(X) \in K[X]$ de degré pair $\geqslant 2$, ayant toutes ses racines distinctes (dans une extension algébriquement close de K) et tel que g(0) ≠ 0. On pose B = K[X], A = B[Y]/(Y² − f(X)) avec f(X) = Xg(X).

a) Soit y la classe de Y dans A. Montrer que tout a ∈ A s’écrit de façon unique a = P + yQ, avec P et Q dans B. Soient $\bar{a} = P - yQ$, N(a) = a\bar{a} = P² − fQ². Montrer que la relation N(a) = 0 entraîne a = 0 ; en déduire que A est un anneau intègre. Montrer que les éléments inversibles de A sont les éléments ≠ 0 de K.

b) Soit m l’idéal AX + Ay de A ; montrer que m est maximal et que l’idéal $m_m$ de $A_m$ est engendré par y (remarquer que l’on a $X = y^2/g(X)$). En déduire que m est un A-module inversible (utiliser le th. 1). Montrer que $m^2 = AX$ ; en déduire que m n’est pas un idéal principal de A, et que le groupe des classes de A-modules inversibles dans le corps des fractions de A n’est donc pas réduit à l’élément neutre. (Si on avait m = At, on aurait X = $\lambda t^2$ avec $\lambda \in K$, d’où $\lambda^{-1}X = P^2 + f/Q^2$ avec P ∈ B et Q ∈ B ; prouver qu’une telle relation est impossible).