Bài tập 11, § 5

Cho K là một trường có đặc số $\neq 2$; xét một đa thức $g(X) \in K[X]$ có bậc chẵn $\geqslant 2$, có mọi nghiệm phân biệt (trong một mở rộng đóng đại số của K) và sao cho g(0) ≠ 0. Đặt B = K[X], A = B[Y]/(Y² − f(X)) với f(X) = Xg(X).

a) Gọi y là lớp của Y trong A. Bây giờ chứng minh rằng mọi a ∈ A có thể được viết theo một cách duy nhất dưới dạng a = P + yQ, với P và Q thuộc B. Đặt $\bar{a} = P - yQ$, N(a) = a\bar{a} = P² − fQ². Bây giờ chứng minh rằng quan hệ N(a) = 0 kéo theo a = 0; suy ra rằng A là một vành nguyên. Bây giờ chứng minh rằng các phần tử khả nghịch của A là các phần tử ≠ 0 của K.

b) Gọi m là iđêan AX + Ay của A; bây giờ chứng minh rằng m là cực đại và iđêan $m_m$ của $A_m$ được sinh bởi y (nhận xét rằng ta có $X = y^2/g(X)$). Suy ra rằng m là một A-môđun khả nghịch (dùng định lý 1). Bây giờ chứng minh rằng $m^2 = AX$; suy ra rằng m không phải là một iđêan chính của A, và do đó nhóm các lớp của các A-môđun khả nghịch trong trường các phân thức của A không thu gọn về phần tử đơn vị. (Nếu có m = At, thì sẽ có X = $\lambda t^2$ với $\lambda \in K$, do đó $\lambda^{-1}X = P^2 + f/Q^2$ với P ∈ B và Q ∈ B; chứng minh rằng một quan hệ như vậy là không thể).