Exercice 12, § 5

Soient A un anneau, I un A-module, B l’unique anneau dont le groupe additif sous-jacent est A ⊕ I, A étant un sous-anneau de B, I un idéal de carré nul, dont la structure de A-module obtenue par restriction des scalaires est la structure donnée (Alg., chap. II, 3e éd., § 1, exerc. 7).

a) Supposons que tout élément non inversible de A appartienne à l’annulateur d’un élément ≠ 0 de I. Montrer que dans B tout élément non diviseur de 0 est inversible, autrement dit que B est égal à son anneau total des fractions.

b) Soit $(m_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille d’idéaux maximaux de A telle que tout élément non inversible de A appartienne à un $m_\lambda$ au moins. Montrer que, si on prend pour I la somme directe des A-modules $A/m_\lambda$, la condition de a) est satisfaite.

c) Déduire de b) que, s’il existe un A-module projectif de rang 1 non libre, on peut déterminer I de sorte que B soit égal à son anneau total des fractions, mais qu’il existe un B-module projectif de rang 1 non libre (ce module étant nécessairement non inversible, puisque B est le seul sous-B-module de B non dégénéré).

d) On suppose qu’il existe dans A un idéal maximal m tel que, pour tout $x \in m$, il existe un idéal maximal $m' \neq m$ de A contenant x. Si on prend pour I le A-module somme directe des $A/m'$, où $m'$ parcourt l’ensemble des idéaux maximaux de A distincts de m, l’anneau $B = A \oplus I$ correspondant est égal à son anneau total des fractions ; si on pose $n = m \oplus I$, qui est un idéal maximal de B, montrer que $B_n$ est isomorphe à $A_m$ ; si A est intègre (nécessairement différent d’un corps en vertu de l’hypothèse), $B_n$ est donc un anneau intègre distinct de son corps des fractions. Si de plus mAₘ est un idéal principal de l’anneau intègre $A_m$, montrer que l’idéal $mB = m \otimes_A B$ de B est un B-module projectif dégénéré non libre de rang 1. (On verra au chap. VII qu’il y a des anneaux de Dedekind A dans lesquels il existe des idéaux maximaux m dont aucune puissance n’est un idéal principal ; pour un tel anneau A, toutes les hypothèses précédentes sont satisfaites.)