Bài tập 12, § 5

Cho A là một vành, I là một A-môđun, B là vành duy nhất có nhóm cộng cơ sở là A ⊕ I, A là vành con của B, I là một iđêan bình phương bằng không, mà cấu trúc A-môđun thu được bởi hạn chế vô hướng là cấu trúc đã cho (Đại số, chương II, ấn bản lần thứ 3, § 1, bài tập 7).

a) Giả sử rằng mọi phần tử không khả nghịch của A thuộc linh hóa tử của một phần tử ≠ 0 của I. Chứng minh rằng trong B mọi phần tử không là ước của 0 đều khả nghịch, nói cách khác rằng B bằng vành phân thức toàn phần của nó.

b) Cho $(m_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các iđêan cực đại của A sao cho mọi phần tử không khả nghịch của A thuộc ít nhất một $m_\lambda$. Chứng minh rằng, nếu lấy I là tổng trực tiếp của các A-môđun $A/m_\lambda$, thì điều kiện của a) được thỏa mãn.

c) Suy ra từ b) rằng, nếu tồn tại một A-môđun xạ ảnh hạng 1 không tự do, thì có thể xác định I sao cho B bằng vành phân thức toàn phần của nó, nhưng tồn tại một B-môđun xạ ảnh hạng 1 không tự do (môđun này nhất thiết không khả nghịch, vì B là môđun con B không suy biến duy nhất của B).

d) Giả sử rằng tồn tại trong A một iđêan cực đại m sao cho, với mọi $x \in m$, tồn tại một iđêan cực đại $m' \neq m$ của A chứa x. Nếu lấy I là môđun A tổng trực tiếp của các $A/m'$, trong đó $m'$ chạy qua tập hợp các iđêan cực đại của A phân biệt với m, thì vành tương ứng $B = A \oplus I$ bằng vành phân thức toàn phần của nó; nếu đặt $n = m \oplus I$, là một iđêan cực đại của B, chứng minh rằng $B_n$ đẳng cấu với $A_m$; nếu A là nguyên (nhất thiết khác một trường do giả thiết), thì do đó $B_n$ là một vành nguyên phân biệt với trường phân thức của nó. Hơn nữa, nếu mAₘ là một iđêan chính của vành nguyên $A_m$, chứng minh rằng iđêan $mB = m \otimes_A B$ của B là một B-môđun xạ ảnh hạng 1 suy biến không tự do. (Trong chương VII sẽ thấy rằng có những vành Dedekind A trong đó tồn tại các iđêan cực đại m mà không lũy thừa nào của chúng là một iđêan chính; đối với một vành A như vậy, mọi giả thiết trước đó đều được thỏa mãn.)