Exercice 17, § 5

Soient A un anneau, P un A-module projectif de type fini et fidèle.

a) Montrer que la A-algèbre $B = \mathrm{End}_A(P)$ est une algèbre d’Azumaya. (Observer d’abord que le A-module B est isomorphe à $P \otimes_A P^*$, donc de présentation finie, puis utiliser le § 2, no 7, prop. 19.)

b) Montrer que P est un B-module projectif à gauche (utiliser le th. 1 d) et le § 3, exerc. 8 c)).

c) Soit $P'$ un second A-module projectif de type fini et fidèle. Montrer que $P \otimes_A P'$ est un A-module projectif de type fini et fidèle et que $\mathrm{End}_A(P \otimes_A P')$ s’identifie canoniquement à $\mathrm{End}_A(P) \otimes_A \mathrm{End}_A(P')$ (utiliser le th. 1 e), le § 2, no 7, prop. 18 et 19 et le § 3, no 3, th. 1). Cas où $P'$ est de rang 1.