Bài tập 17, § 5

Cho $A$ là một vành, $P$ là một A-môđun trung thành xạ ảnh sinh hữu hạn.

(a) Bây giờ chứng minh rằng đại số trên A $B = \mathrm{End}_A(P)$ là một đại số Azumaya. (Trước hết nhận xét rằng A-môđun B đẳng cấu với $P \otimes_A P^*$, do đó có trình bày hữu hạn, rồi dùng § 2, No. 7, Mệnh đề 19.)

(b) Bây giờ chứng minh rằng P là một B-môđun trái xạ ảnh (dùng Định lý 1 d) và § 3, Bài tập 8 c)).

(c) Cho $P'$ là một A-môđun trung thành xạ ảnh sinh hữu hạn thứ hai. Bây giờ chứng minh rằng $P \otimes_A P'$ là một A-môđun trung thành xạ ảnh sinh hữu hạn và rằng $\mathrm{End}_A(P \otimes_A P')$ được đồng nhất một cách chính tắc với $\mathrm{End}_A(P) \otimes_A \mathrm{End}_A(P')$ (dùng Định lý 1 e), § 2, No. 7, Các Mệnh đề 18 và 19 và § 3, No. 3, Định lý 1). Trường hợp $P'$ có hạng 1.