Exercice 2, § 5

Soient $K$ un corps, $B$ l’anneau des polynômes à coefficients dans $K$ par rapport à un système infini d’indéterminées $X_i \ (i \in \mathbf{N})$; soit $b$ l’idéal de $B$ engendré par les produits $X_i X_j \ (i \neq j)$, $A$ l’anneau quotient $B/b$, $\xi_i$ la classe de $X_i$ mod. $b \ (i \in \mathbf{N})$, $p$ l’idéal de $A$ engendré par les $\xi_i$ d’indice $i \geqslant 1$, qui est premier, $u$ l’application canonique $A \to A/p$. Montrer que $u_p : A_p \to (A/p)_p$ est bijectif mais qu’il n’existe aucun $f \in A - p$ tel que $u_f$ soit bijectif.