Exercice 20, § 5

Soient A un anneau, P, P’ deux A-modules projectifs de type fini et fidèles. Montrer que, si $\theta : \mathrm{End}_A(P) \to \mathrm{End}_A(P')$ est un isomorphisme de A-algèbres, il existe un A-module F projectif de rang 1 et un A-isomorphisme $\varphi : P' \to P \otimes_A F$, tels que $\theta(u) = \varphi^{-1} \circ (u \otimes 1) \circ \varphi$ pour tout $u \in \mathrm{End}_A(P)$. (Appliquer l’exerc. 18 à $E = P'$ considéré comme un ($\mathrm{End}_A(P)$)-module au moyen de $\theta$; pour prouver que $\mathrm{Hom}_B(P, P')$ est un A-module projectif de rang 1, utiliser le th. 2 du no 3, ainsi que Alg., chap. VIII, § 5, exerc. 7 c).)