Bài tập 20, § 5

Cho A là một vành, P, P’ là hai A-môđun xạ ảnh hữu hạn trung thành. Bây giờ chứng minh rằng, nếu $\theta : \mathrm{End}_A(P) \to \mathrm{End}_A(P')$ là một đẳng cấu của các A-đại số, tồn tại một A-môđun xạ ảnh F hạng 1 và một A-đẳng cấu $\varphi : P' \to P \otimes_A F$, sao cho $\theta(u) = \varphi^{-1} \circ (u \otimes 1) \circ \varphi$ với mọi $u \in \mathrm{End}_A(P)$. (Áp dụng Bài tập 18 cho $E = P'$ được xem như một ($\mathrm{End}_A(P)$)-môđun bằng cách dùng $\theta$; để chứng minh rằng $\mathrm{Hom}_B(P, P')$ là một A-môđun xạ ảnh hạng 1, dùng Định lý 2 của No. 3, cũng như Alg., chương VIII, § 5, Bài tập 7 c).)