Exercice 25, § 5

Soient A un anneau, S une partie multiplicative de A. On dit qu’un idéal $a$ de A est S-inversible s’il existe $s \in S$ et un idéal $b$ de A tels que $ab = As$; on dit que deux idéaux $a, b$ de A sont S-équivalents s’il existe $s, t$ dans S tels que $sa = tb$. Montrer que les classes de S-équivalence d’idéaux S-inversibles de A forment un groupe multiplicatif $\mathfrak{C}_s$. Si S est saturée (§ 2, exerc. 1) et si aucun élément de S n’est diviseur de 0 dans A, montrer que le groupe $\mathfrak{C}_s$ est isomorphe au groupe des classes des sous-$S^{-1}A$-modules inversibles de l’anneau total des fractions B de A (et de $S^{-1}A$).