Exercice 6, § 5

Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions, $M$ un $A$-module. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ $M$ est un $A$-module projectif tel que $[M \otimes_A K : K]$ soit fini. $\beta)$ $M$ est un $A$-module projectif de type fini.

γ) M est de type fini, et pour tout idéal maximal m de A, le $A_m$-module $M_m$ est libre.

(Pour montrer que α) entraîne β), utiliser Alg., chap. II, 3e éd., § 5, n° 5, prop. 9. Pour voir que γ) entraîne α), observer d’abord que M est sans torsion, et en conclure que, pour tout idéal premier p de A, $M_p$ est un $A_p$-module libre de rang constant).