Bài tập 6, § 5

Cho $A$ là một miền nguyên, $K$ là trường các phân thức của nó và $M$ là một $A$-môđun. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: (a) $M$ là một $A$-môđun xạ ảnh sao cho $[M \otimes_A K : K]$ là hữu hạn. (b) $M$ là $A$-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn. (y) $M$ là sinh hữu hạn và, với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, $M$ là một môđun tự do trên $A_m$. (Để chứng minh rằng (a) suy ra (b), sử dụng Đại số, Chương 11, § 5, no. 5, Mệnh đề 9. Để chứng minh rằng (y) suy ra (a), trước hết nhận thấy rằng $M$ là không xoắn và kết luận rằng, với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, $M$ là một môđun tự do trên $A_p$ có hạng hằng.)