Exercice 7, § 5

Soit A un anneau (commutatif) absolument plat (cf. § 4, exerc. 16) et soit X son spectre.

a) Soient F une partie fermée de X, a l’idéal de A correspondant (loc. cit.). Montrer que $M = A/a$ est un A-module plat monogène, tel que $M_m$ soit un $A_m$-module libre pour tout $m \in X$, mais que M n’est projectif que si F est ouvert.

b) Soit E le module somme directe des $A/m$, pour $m \in X$. Montrer que E est un A-module plat tel que $E_m$ soit un $A_m$-module libre de rang 1 pour tout $m \in X$; pour que E soit un A-module projectif, il faut et il suffit que X soit fini (remarquer que, si $A/m$ est un A-module projectif, m est de type fini).