Exercice 9, § 2

Donner un exemple de deux anneaux filtrés A, B, dont les filtrations sont exhaustives et séparées, et d’un homomorphisme non surjectif $u : A \to B$, compatible avec les filtrations et tel que $\mathrm{gr}(u)$ soit bijectif. En déduire un contre-exemple au cor. 1 de la prop. 12, lorsqu’on ne suppose plus l’anneau A complet, et un contre-exemple à la prop. 13 lorsqu’on ne suppose plus E de type fini (utiliser Alg., chap. VIII, § 7, exerc. 3 b)).