Exercice 10, § 3

Soient A un anneau de Zariski, $\mathfrak{m}$ un idéal de définition de la topologie de A, E un A-module de type fini. Montrer que si $\widehat{E}$ est un $\widehat{A}$-module admettant un système de générateurs de r éléments, alors le A-module E admet un système de générateurs de r éléments (remarquer que $E/\mathfrak{m}E$ et $\widehat{E}/\mathfrak{m}\widehat{E}$ sont isomorphes et utiliser le chap. II, § 3, cor. 2 de la prop. 4). Le résultat est-il valable lorsqu'on ne suppose pas E de type fini (cf. exerc. 9) ? Est-il valable lorsqu'on suppose seulement A noethérien (prendre $A = \mathbf{Z}$) ?