Bài tập 10, § 3

Cho A là một vành Zariski, m là một iđêan định nghĩa của tôpô trên A và E là một A-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng, nếu $\hat{E}$ là một $\hat{A}$-môđun thừa nhận một hệ sinh gồm r phần tử, thì A-môđun E thừa nhận một hệ sinh gồm r phần tử (chú ý rằng $E/mE$ và $\hat{E}/m\hat{E}$ là đẳng cấu và sử dụng Chương 11, § 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 4). Kết quả có còn đúng nếu không giả thiết E sinh hữu hạn (xem Bài tập 9)? Có còn đúng nếu ta chỉ giả thiết rằng A là Noether (lấy $A = \mathbf{Z}$)?