Exercice 12, § 3

a) Soient A un anneau commutatif noethérien, $m_1, m_2$ deux idéaux de A contenus dans le radical de A ; soit $A_1$ le complété de A pour la topologie $m_i$-adique. Si $m_1 \subset m_2$, montrer que l’application identique de A se prolonge par continuité en une représentation injective de $A_1$ dans $A_2$ (cf. Top. gén., chap. III, 3e éd., § 3, no 5, prop. 9).

b) Soit $n = A_1 m_2$. Montrer que si on identifie canoniquement $A_1$ à un sous-anneau de $A_2$, $A_2$ s’identifie au complété de $A_1$ pour la topologie $n$-adique.