Exercice 22, § 3

(*) Soit $A$ un anneau commutatif ou non; tous les $A$-modules considérés sont des $A$-modules à gauche. Soit $P$ une propriété telle que :

(*) Les exerc. 22 à 25 nous ont été communiqués par P. Gabriel.

α) si $f : M \to N$ est un homomorphisme injectif de A-modules et si N possède la propriété $P$, alors M possède la propriété $P$; β) la somme directe de deux A-modules possédant la propriété $P$ possède la propriété $P$.

a) Soit M un A-module. Montrer que les sous-modules $M'$ de M tels que $M/M'$ possède la propriété $P$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie linéaire $\mathscr{C}_P(M)$ sur M. Montrer que $\mathscr{C}_P(A_s)$ est compatible avec la structure d’anneau de A, et que M, muni de la topologie $\mathscr{C}_P(M)$, est un module topologique sur A muni de $\mathscr{C}_P(A_s)$. Tout homomorphisme $f : M \to N$ de A-modules est continu pour les topologies $\mathscr{C}_P(M)$ et $\mathscr{C}_P(N)$.

b) On suppose vérifiée la condition suivante : γ) si N est un sous-module de M possédant la propriété $P$, et si, pour tout sous-module $L \neq 0$ de M, on a $N \cap L \neq 0$, alors M possède la propriété $P$. Montrer que dans ces conditions, si F est un sous-module d’un A-module E, la topologie $\mathscr{C}_P(F)$ est induite par $\mathscr{C}_P(E)$. (Soit F’ un sous-module de F tel que $F/F'$ possède la propriété $P$; considérer un élément maximal G parmi les sous-modules de E tels que $G \cap F = F'$, et montrer que $E/G$ possède la propriété $P$.)