Bài tập 22, § 3

(*) Cho $A$ là một vành, giao hoán hoặc không; tất cả các $A$-môđun được xét đều là các $A$-môđun trái. Cho $P$ là một tính chất sao cho: (α) nếu $f : M \to N$ là một đồng cấu $A$-môđun đơn ánh và $N$ có tính chất $P$, thì $M$ có tính chất $P$; (β) tổng trực tiếp của hai $A$-môđun có tính chất $P$ có tính chất $P$.

(a) Cho $M$ là một $A$-môđun. Chứng minh rằng các môđun con $M'$ của $M$ sao cho $M/M'$ có tính chất $P$ tạo thành một hệ cơ sở lân cận của 0 đối với một tôpô tuyến tính $\mathscr{T}_P(M)$ trên $M$. Chứng minh rằng $\mathscr{T}_P(A_s)$ tương thích với cấu trúc vành trên $A$ và rằng $M$ với tôpô $\mathscr{T}_P(M)$ là một môđun tôpô trên $A$ với $\mathscr{T}_P(A_s)$. Mọi đồng cấu $A$-môđun $f : M \to N$ đều liên tục đối với các tôpô $\mathscr{T}_P(M)$ và $\mathscr{T}_P(N)$.

(b) Giả sử điều kiện sau đúng: (γ) nếu $N$ là một môđun con của $M$ có tính chất $P$ và, với mọi môđun con $L \neq 0$ của $M$, $N \cap L \neq 0$, thì $M$ có tính chất $P$. Chứng minh rằng với các điều kiện này, nếu $F$ là một môđun con của một $A$-môđun $E$, thì tôpô $\mathscr{T}_P(F)$ là cảm sinh bởi $\mathscr{T}_P(E)$. (Cho $F'$ là một môđun con của $F$ sao cho $F/F'$ có tính chất $P$; xét một phần tử cực đại $G$ trong số các môđun con của $E$ sao cho $G \cap F = F'$ và chứng minh rằng $E/G$ có tính chất $P$.)