Exercice 25, § 3

Soient A un anneau principal (exerc. 24), a un idéal bilatère ≠ 0 de A, a un élément de a ayant les propriétés énoncées dans l’exerc. 24 f). On désigne par P{M} la propriété suivante : M est un A-module à gauche et tout sous-module de type fini de M est annulé par une puissance de a.

a) Montrer que les conditions α), β) et γ) de l’exerc. 22 sont remplies (considérer l’homothétie a_M et raisonner comme dans l’exerc. 23 a), en observant que Ker(a_M^r) et Im(a_M^r) sont des sous-modules de M).

b) Montrer que tout A-module de torsion M (exerc. 24 c)) est somme directe d’un sous-module M_a qui possède la propriété P, et d’un sous-module M'_a tel que la restriction à M'_a de l’homothétie a_M soit bijective (observer que si N est un A-module de torsion et si a_N est injective, alors a_N est bijective ; on se ramènera pour cela au cas où N est monogène, et on utilisera l’exerc. 24 a) ainsi que Alg., chap. VIII, § 2, n° 2, lemme 2).

c) Soit S l’ensemble des éléments s ∈ A dont l’image canonique dans l’anneau A/a soit inversible. Montrer que S est une partie multiplicative de A et que les conditions suivantes, pour un idéal à gauche I de A, sont équivalentes :

α) I ∩ S ≠ Ø ; β) I + a = A ; γ) (A/I)_a = 0 (avec les notations de b)) ; δ) pour tout x ∈ A, il existe s ∈ S tel que sx ∈ I.

En déduire que A possède un anneau de fractions (à gauche ou à droite) pour S (chap. II, § 2, exerc. 22), qui est principal et dont les seuls idéaux bilatères non nuls sont engendrés par les images canoniques des idéaux a^n ; en outre l’application canonique de A dans cet anneau de fractions est injective.

d) On suppose maintenant que l’idéal bilatère a soit maximal. Montrer que pour tout entier n > 0, l’anneau A/a^n est isomorphe à un anneau de matrices M_r(B_n) sur un anneau complètement primaire (Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 20). Si b_n est l’idéal maximal de B_n, montrer que b_n^n = 0, que tout idéal (à gauche ou à droite) de B_n est de la forme b_n^k et est monogène. (Remarquer d’une part que a/a^n = M_r(b_n) (Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 5), et d’autre part que pour k < n, b_n^k/b_n^{k+1} est nécessairement un B_n-module simple, sans quoi M_r(b_n^k) ne pourrait être un (A/a^n)-module monogène.)

En déduire que le complété $\widehat{A}$ de A pour la topologie $\mathscr{C}_P(A_s)$ est un anneau de matrices $M_r(B)$ sur un anneau B sans diviseur de zéro autre que 0, et dont tout idéal (à gauche ou à droite) est une puissance d’un même idéal bilatère maximal.