Bài tập 25, § 3

Cho $A$ là một vành iđêan chính (Bài tập 24), $a$ là một iđêan hai phía $\neq 0$ của $A$ và $a$ là một phần tử của $a$ có các tính chất đã nêu trong Bài tập 24 (f). Ký hiệu $P\{M\}$ là tính chất sau: $M$ là một $A$-môđun trái và mọi môđun con sinh hữu hạn của $M$ đều bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của $a$.

(a) Chứng minh rằng các điều kiện (α), (β) và (γ) của Bài tập 22 được thỏa mãn (xét phép vị tự $a_M$ và lập luận như trong Bài tập 23 (a), nhận thấy rằng $\mathrm{Ker}(a_M')$ và $\mathrm{Im}(a_M')$ là các môđun con của $M$).

(b) Chứng minh rằng mọi $A$-môđun xoắn $M$ (Bài tập 24 (c)) là tổng trực tiếp của một môđun con $M_a$ có tính chất $P$ và một môđun con $M'_a$ sao cho hạn chế của phép vị tự $a_M$ lên $M'_a$ là song ánh (nhận thấy rằng, nếu $N$ là một $A$-môđun xoắn và $a_N$ là đơn ánh, thì $a_N$ là song ánh; để làm điều này, rút gọn về trường hợp $N$ là đơn sinh và sử dụng Bài tập 24 (a) cũng như Đại số, Chương VIII, § 2, no. 2, Bổ đề 2).

(c) Cho $S$ là tập hợp các phần tử $s \in A$ mà ảnh chính tắc của chúng trong vành $A/a$ là khả nghịch. Chứng minh rằng $S$ là một tập con nhân của $A$ và các điều kiện sau đây, đối với mọi iđêan trái $I$ của $A$, là tương đương:

(α) $I \cap S \neq \varnothing$; (β) $I + a = A$; (γ) $(A/I)_a = 0$ (theo ký hiệu của (b)); (δ) với mọi $x \in A$, tồn tại $s \in S$ sao cho $sx \in I$.

Suy ra rằng $A$ có một vành phân thức (trái hoặc phải) đối với $S$ (Chương 11, § 2, Bài tập 22), vành này là một vành iđêan chính và các iđêan hai phía khác không duy nhất của nó được sinh bởi các ảnh chính tắc của các iđêan $a^n$; hơn nữa ánh xạ chính tắc từ $A$ vào vành phân thức này là đơn ánh.

(d) Giả sử bây giờ rằng iđêan hai phía $a$ là cực đại. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n > 0$, vành $A/a^n$ là đẳng cấu với một vành ma trận $\mathbf{M}_r(B_n)$ trên một vành nguyên sơ hoàn toàn (Đại số, Chương VIII, § 6, Bài tập 20). Nếu $b_n$ là iđêan cực đại của $B_n$, chứng minh rằng $b_n^n = 0$, rằng mọi iđêan (trái hoặc phải) của $B_n$ đều có dạng $b_n^k$ và là đơn sinh. (Chú ý một mặt rằng

(Đại số, Chương VIII, § 6, Bài tập 5) và mặt khác rằng, với $k < n$, $b_n^k/b_n^{k+1}$ nhất thiết là một $B_n$-môđun đơn, nếu không thì $M_r(b_n^k)$ không thể là một $(A/a^n)$-môđun đơn sinh.)

Suy ra rằng phần hoàn thiện $\hat{A}$ của $A$ đối với tôpô $T_P(A_s)$ là một vành ma trận $M_r(B)$ trên một vành $B$ không có ước của không và mỗi iđêan của nó (trái hoặc phải) là một lũy thừa của cùng một ideal hai phía tối đại.