Exercice 5, § 3

Soient A un anneau commutatif noethérien, m son radical.

a) Pour que A soit strictement linéairement compact pour une topologie linéaire $\mathscr{C}$ (§ 2, exerc. 19), il faut et il suffit que A soit semi-local, et complet pour la topologie m-adique; $\mathscr{C}$ est alors nécessairement identique à cette dernière topologie. (Utiliser le § 2, exerc. 21 d) et 22 a), ainsi que le § 3, no 3, prop. 6).

b) Pour que A soit linéairement compact pour une topologie linéaire $\mathscr{C}$, il faut et il suffit que A soit semi-local et complet pour la topologie m-adique, et que $\mathscr{C}$ soit plus fine que cette dernière topologie. (Pour voir que la condition est suffisante, utiliser la prop. 6 du no 3. Pour voir qu’elle est nécessaire, se ramener d’abord au cas où A est un anneau local, en utilisant l’exerc. 21 d) du § 2. Considérer d’abord le cas où $\mathscr{C}$ est la topologie discrète, et noter que A est alors linéairement compact pour la topologie m-adique. Dans le cas général, se ramener au cas où $\mathscr{C}$ est une topologie minimale (§ 2, exerc. 18 c)); montrer que A est alors strictement linéairement compact, en utilisant le critère $\gamma$ du § 2, exerc. 19 a) et l’exerc. 18 b) du § 2.)