Bài tập 5, § 3

Cho $A$ là một vành giao hoán Noether và $m$ là căn Jacobson của nó. (a) Để $A$ là compact tuyến tính nghiêm ngặt với một tôpô tuyến tính $\mathscr{T}$ (§ 2, Bài tập 19), điều kiện cần và đủ là $A$ là nửa địa phương và đầy đủ với tôpô $m$-adic; khi đó $\mathscr{T}$ nhất thiết đồng nhất với tôpô sau. (Sử dụng § 2, Bài tập 21 (d) và 22 (a), đồng thời § 3, no. 3, Mệnh đề 6.) (b) Để $A$ là compact tuyến tính với một tôpô tuyến tính $\mathscr{T}$, điều kiện cần và đủ là $A$ là nửa địa phương và đầy đủ với tôpô $m$-adic, và $\mathscr{T}$ mịn hơn tôpô sau. (Để thấy tính cần thiết, trước hết rút gọn về trường hợp $A$ là một vành địa phương, sử dụng Bài tập 21 (d) của § 2. Trước hết xét trường hợp $\mathscr{T}$ là tôpô rời rạc và chú ý rằng khi đó $A$ là compact tuyến tính với tôpô $m$-adic. Trong trường hợp tổng quát, rút gọn về trường hợp $\mathscr{T}$ là một tôpô cực tiểu (§ 2, Bài tập 18 (c)); chứng minh rằng khi đó $A$ là compact tuyến tính nghiêm ngặt và sử dụng tiêu chuẩn (y) của § 2, Bài tập 19 (a) và Bài tập 18 (b) của § 2.)