Exercice 8, § 3

Soient A un anneau semi-local noethérien, $\mathfrak{n}$ son nilradical (qui est le plus grand idéal nilpotent de A), $\mathfrak{m}$ son radical. Montrer que si A (muni de la topologie $\mathfrak{m}$-adique) est tel que $A/\mathfrak{n}$ soit complet, alors A est complet. (Se ramener au cas où $\mathfrak{n}$ est engendré par un seul élément c tel que $c^2 = 0$; en utilisant l'exerc. 9 de Top. gén., chap. III, 3e éd., § 3, se ramener à montrer que $\mathfrak{n} = Ac$ est complet, et utiliser le fait que $\mathfrak{n}$ est un (A/$\mathfrak{n}$)-module).