Exercice 9, § 3

a) Soient A un anneau de Zariski, $\mathfrak{m}$ un idéal de définition de A, B un anneau tel que $A \subset B \subset \widehat{A}$, qui est un A-module de type fini ; montrer que si $\mathfrak{m}B$ est ouvert dans B pour la topologie induite par la topologie de $\widehat{A}$, on a nécessairement $B = A$ (utiliser le lemme de Nakayama).

b) Soient A un anneau commutatif noethérien, $\mathfrak{m}$ un idéal de A. Montrer que si le séparé complété $\widehat{A}$ de A pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique est un A-module de type fini, A est complet pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique (se ramener au cas où A est séparé ; utiliser le chap. V, § 2, no 1, prop. 1 et th. 1 pour montrer que A est un anneau de Zariski pour la topologie $\mathfrak{m}$-adique, et conclure à l'aide de a)).