Bài tập 9, § 3

(a) Cho A là một vành Zariski, m là một iđêan xác định của tôpô trên A và B là một vành sao cho $A \subset B \subset \hat{A}$, là một A-môđun sinh hữu hạn; hãy chứng minh rằng, nếu mB là mở trong B theo tôpô cảm sinh bởi tôpô trên $\hat{A}$, thì tất yếu $B = A$ (dùng Bổ đề Nakayama). (b) Cho A là một vành giao hoán Noether và m là một iđêan của A. Hãy chứng minh rằng, nếu bao đầy đủ Hausdorff $\hat{A}$ của A đối với tôpô m-adic là một A-môđun sinh hữu hạn, thì A đầy đủ với tôpô m-adic (rút gọn về trường hợp A là Hausdorff; dùng Chương V, § 2, no. 1, Mệnh đề 1 và Định lý 1 để chứng minh rằng A là một vành Zariski với tôpô m-adic và kết luận nhờ (a)). \*