Exercice 1, § 4

Soient A un anneau commutatif séparé et complet pour une filtration $(\alpha_n)_{n \geqslant 0}$ telle que $\alpha_0 = A$. Soient M, M', N trois A-modules, munis chacun de la filtration déduite de celle de A et de la topologie définie par cette filtration ; on pose $\overline{M} = M/\alpha_1 M$, $\overline{M'} = M'/\alpha_1 M'$, $\overline{N} = N/\alpha_1 N$. Soient $f : M \times M' \to N$ une application bilinéaire, $\bar{f} : \overline{M} \times \overline{M'} \to \overline{N}$ l’application $(A/\alpha_1)$-bilinéaire déduite de f par passage aux quotients. Soient $y \in N, \overline{x} \in \overline{M}, \overline{x}' \in \overline{M'}$ tels que : $1^\circ \bar{f}(\overline{x}, \overline{x}')$ soit la classe $\overline{y}$ de y dans $\overline{\mathbf{N}}$; $2^o$ tout élément de $\overline{\mathbf{N}}$ peut s'écrire $\bar{f}(\bar{x}, \bar{z}') + \bar{f}(\bar{z}, \bar{x}')$ où $\bar{z} \in \overline{M}$ et $\bar{z}' \in \overline{M}'$. Montrer que si $\mathbf{N}$ est séparé, et si $M$ et $M'$ sont complets, il existe $x \in \bar{x}$ et $x' \in \bar{x}'$ tels que $f(x, x') = y$ (raisonner par récurrence comme dans la démonstration du lemme de Hensel). À quelle condition $x$ et $x'$ sont-ils déterminés de façon unique?