Bài tập 1, § 4

Cho A là một vành giao hoán Hausdorff và đầy đủ với một lọc $(\mathfrak{a}_n)_{\geq 0}$ sao cho $\mathfrak{a}_0 = A$. Cho M, M', N là ba A-môđun, mỗi môđun với lọc cảm sinh bởi lọc trên A và tôpô được xác định bởi lọc đó; ta viết $\overline{M} = M/\mathfrak{a}_1 M, \overline{M}' = M'/\mathfrak{a}_1 M', \overline{N} = N/\mathfrak{a}_1 N$. Cho $f : M \times M' \to N$ là một ánh xạ song tuyến tính và $\tilde{f} : \overline{M} \times \overline{M}' \to \overline{N}$ là ánh xạ $(A/\mathfrak{a}_1)$-song tuyến tính dẫn xuất từ $f$ bằng cách lấy các thương. Cho $y \in N, \bar{x} \in \overline{M}, \bar{x}' \in \overline{M}'$ sao cho: (1) $\tilde{f}(\bar{x}, \bar{x}')$ là lớp $\bar{y}$ của $y$ trong $\overline{N}$; (2) mọi phần tử của $\overline{N}$ có thể được viết dưới dạng

trong đó $\bar{z} \in \overline{M}$ và $\bar{z}' \in \overline{M}'$. Chứng minh rằng, nếu N là Hausdorff và M và M' là đầy đủ, tồn tại $x \in \bar{x}$ và $x' \in \bar{x}'$ sao cho $f(x, x') = y$ (lập luận bằng quy nạp như trong chứng minh của bổ đề Hensel). Trong những điều kiện nào thì $x$ và $x'$ được xác định duy nhất?