Exercice 4, § 4

a) Soit $(A_\alpha, \varphi_{\alpha\beta})$ un système inductif d’anneaux locaux henséliens, les homomorphismes $\varphi_{\alpha\beta}$ étant locaux. Montrer que l’anneau local $A = \lim_{\longrightarrow} A_\alpha$ (chap. II, § 3, exerc. 16) est hensélien (utiliser le critère (H) de l’exerc. 3).

b) Soient K un corps commutatif, L une extension algébrique de K. Déduire de a) que l’anneau $L \otimes_K K[[X_1, ..., X_n]]$ est hensélien.

c) Soient A un anneau local hensélien, B une A-algèbre commutative qui est entière sur A (chap. V) et est un anneau local. Montrer que B est un anneau hensélien (utiliser a)).