Exercice 5, § 4

Soient A un anneau local hensélien, B une A-algèbre (non nécessairement commutative) qui est un A-module de type fini, b un idéal bilatère de B, et soit $\overline{B} = B/b$.

a) Montrer que tout idempotent $\varepsilon$ de $\overline{B}$ est l’image canonique d’un idempotent de B (se ramener au cas commutatif; en considérant la sous-algèbre de B engendrée par un seul élément).

b) Soit $(\varepsilon_n)_{n \geq 1}$ une suite infinie d’éléments de $\overline{B}$ tels que

pour tout couple d’indices $(i, j)$. Montrer qu’il existe dans B une suite orthogonale $(e_n)_{n \geq 1}$ d’idempotents tels que $\varepsilon_n$ soit l’image canonique de $e_n$ pour tout $n$. (Procéder par récurrence comme dans Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 10 ; on observera que si $e, e'$ sont deux idempotents de B tels que $ee' = 0, e' - e'e = e''$ est un idempotent tel que $ee'' = e''e = 0.$)

c) On suppose maintenant que b est le radical de B. Soit $n$ un entier, et soit $(\varepsilon_{ij})$ $(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n)$ une famille d’éléments de $\overline{B}$ telle que

Montrer qu’il existe dans B une famille $(e_{ij})$ $(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n)$ telle que $e_{ij} e_{hk} = \delta_{jh} e_{ik}$ et $1 = \sum_{i=1}^n e_{ii}$, et que $\varepsilon_{ij}$ soit l’image canonique de $e_{ij}$ pour tout couple d’indices. (Utiliser b), l’exerc. 11 de Alg., chap. VIII, § 6, et l’exerc. 9 de Alg., chap. VIII, § 1.) En déduire que si $\overline{B}$ est isomorphe à un anneau de matrices $\mathbf{M}_r(\overline{D})$, où $\overline{D}$ est un corps non nécessairement commutatif, alors B est isomorphe à un anneau de matrices $\mathbf{M}_r(D)$, où D est une A-algèbre qui est un A-module de type fini et dont le radical $d$ est tel que $D/d$ soit isomorphe à $\overline{D}$ (cf. Alg., chap. VIII, § 1, exerc. 9 et 3). Montrer que si de plus B est une algèbre d’Azumaya sur A (chap. II, § 5, exerc. 14), il en est de même de D.