Bài tập 5, § 4

Cho $A$ là một vành địa phương Hensel, $B$ là một đại số trên $A$ (không nhất thiết giao hoán) là A-môđun sinh hữu hạn, $b$ là một iđêan hai phía của $B$ và đặt $\overline{B} = B/b$.

(a) Chứng minh rằng mọi phần tử lũy đẳng $\varepsilon$ trong $\overline{B}$ là ảnh chính tắc của một phần tử lũy đẳng trong $B$ (rút gọn về trường hợp giao hoán, xét đại số con của $B$ sinh bởi một phần tử duy nhất).

(b) Cho $(\varepsilon_n)_{n \geq 1}$ là một dãy vô hạn các phần tử của $\overline{B}$ sao cho

với mọi cặp có thứ tự các chỉ số $(i, j)$. Chứng minh rằng tồn tại trong $B$ một dãy trực giao $(e_n)_{n \geq 1}$ gồm các phần tử lũy đẳng sao cho $\varepsilon_n$ là ảnh chính tắc của $e_n$ với mọi $n$. (Lập luận bằng quy nạp như trong Đại số, Chương VIII, § 6, Bài tập 10; nhận xét rằng, nếu $e, e'$ là hai phần tử lũy đẳng của $B$ sao cho $ee' = 0, e' - e'e = e''$ là một phần tử lũy đẳng sao cho $ee'' = e''e = 0$.)

(c) Giả sử bây giờ rằng b là căn Jacobson của B. Cho n là một số nguyên và $(\varepsilon_{ij})\ (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n)$ là một họ các phần tử của $\overline{B}$ sao cho $\varepsilon_{ij}\varepsilon_{hk} = \delta_{jh}\varepsilon_{ik}$ và $1 = \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_{ii}$. Chứng minh rằng tồn tại trong B một họ $(e_{ij})\ (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n)$ sao cho $e_{ij}e_{hk} = \delta_{jh}e_{ik}$ và $1 = \sum_{i=1}^{n} e_{ii}$ và $\varepsilon_{ij}$ là ảnh chính tắc của $e_{ij}$ với mọi cặp có thứ tự các chỉ số. (Sử dụng (b), Bài tập 11 của Đại số, Chương VIII, § 6, và Bài tập 9 của Đại số, Chương VIII, § 1.) Suy ra rằng, nếu $\overline{B}$ đẳng cấu với một vành ma trận $M_r(\overline{D})$, trong đó $\overline{D}$ là một trường không nhất thiết giao hoán, thì B đẳng cấu với một vành ma trận $M_r(D)$, trong đó D là một đại số trên A là A-môđun sinh hữu hạn và có căn Jacobson $\mathfrak{d}$ sao cho D/b đẳng cấu với $\overline{D}$ (xem Đại số, Chương VIII, § 1, các Bài tập 9 và 3). Chứng minh rằng, nếu hơn nữa B là một đại số Azumaya trên A (Chương 11, §5, Bài tập 14), thì D cũng vậy.