Exercice 8, § 4

Soit $A$ un anneau commutatif linéairement topologisé. On identifie le groupe additif $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ au groupe produit $A^{\mathbf{N}^p}$, et on le munit de la topologie produit $\mathscr{C}$.

a) Montrer que $\mathscr{C}$ est compatible avec la structure d'anneau de $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ et est une topologie linéaire, pour laquelle les applications $f \to \partial f / \partial X_i$ sont continues.

b) Pour tout élément $P = \sum_e \alpha_{e,p} X^e$ de $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ (notations du § 1, no 6), et toute $A$-algèbre topologique $B$ ($§ 2$, exerc. 28) séparée et complète, on dit qu'un élément $x = (x_1, \ldots, x_p) \in B^p$ est substituable dans $P$ si la famille $(\alpha_{e,p} x^e)$ (où on a posé $x^e = x_1^{e_1} \cdots x_p^{e_p}$ pour $e = (e_1, \ldots, e_p)$) converge vers 0 dans $B$ suivant le filtre des complémentaires des parties finies de $\mathbf{N}^p$. Cette famille est alors sommable et sa somme se note $P(x)$. Montrer que l'ensemble des séries formelles $P \in A[[X_1, \ldots, X_p]]$ telles que $x$ soit substituable dans $P$ est un sous-anneau $S_x$ de $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ et que l'application $P \to P(x)$ est un homomorphisme de $S_x$ dans $B$.

c) Montrer que si $x$ est substituable dans $P$ et si $y = (y_1, \ldots, y_p)$ est un élément de $B^p$ tel que les $y_i$ soient topologiquement nilpotents pour $1 \leq i \leq p$, alors $x + y$ est substituable dans $P$.

En particulier, s'il existe dans $B$ un voisinage de 0 formé d'éléments topologiquement nilpotents, alors, pour tout $P \in A[[X_1, \ldots, X_p]]$, l'ensemble $D$ des $x \in B^p$ substituables dans $P$ est ouvert et l'application $x \to P(x)$ de $D$ dans $B$ est continue.

d) On suppose désormais $A$ séparé et complet, et on munit $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ de la topologie $\mathscr{C}$. Pour qu'un système de $q$ séries formelles $P_1, \ldots, P_q$ de $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ soit substituable dans une série formelle

il faut et il suffit que le système $(P_1(0),..., P_q(0))$ soit substituable dans $Q$.

e) On suppose que $x$ est substituable dans chacun des $P_k (1 \leq k \leq q)$ et que le système $(P_1,..., P_q)$ est substituable dans $Q$. Montrer que $x$ est substituable dans $Q(P_1,..., P_q)$, que le système $(P_1(x),..., P_q(x))$ est substituable dans $Q$ et que l’on a $Q(P_1(x),..., P_q(x)) = (Q(P_1,..., P_q))(x)$ lorsqu’on suppose en outre satisfaite l’*une* des hypothèses suivantes : $\alpha$ il y a dans $B$ un idéal $n$ tel que le couple $(B, n)$ vérifie les conditions de Hensel, et les $x_i (1 \leq i \leq p)$ appartiennent à $n$; $\beta$ la série formelle $Q$ est restreinte.

f) On prend $B = A = \mathbf{F}_2$, muni de la topologie discrète, $P = X + X^2$, $Q = \sum_{n=0}^{\infty} X^{2^n}$; alors $P$ est substituable dans $Q$, $x = 1$ est substituable dans $P$ et dans $Q(P)$ et $P(x)$ est substituable dans $Q$, mais on a $Q(P(x)) = 0$ et $(Q(P))(x) = 1$.