Bài tập 8, § 4

Cho $A$ là một vành giao hoán có tôpô tuyến tính. Nhóm cộng $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ được đồng nhất với nhóm tích $A^{N^p}$ và được cho tôpô tích $\mathscr{T}$.

(a) Chứng minh rằng $\mathscr{T}$ tương thích với cấu trúc vành trên $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ và là một tôpô tuyến tính mà đối với đó các ánh xạ $f \mapsto \partial f / \partial X_i$ là liên tục.

(b) Với mọi phần tử $P = \sum_e \alpha_{e,P} X^e$ của $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ (ký hiệu của § 1, no. 6) và mọi đại số trên A tôpô Hausdorff đầy đủ B ($§ 2$, Bài tập 28), một phần tử $x = (x_1, \ldots, x_r) \in B^p$ được gọi là có thể thế vào trong $P$ nếu họ $(\alpha_{e,P} x^e)$ (trong đó ta đã viết $x^e = x_1^{e_1} \ldots x_p^{e_p}$ với $e = (e_1, \ldots, e_p)$) hội tụ về 0 trong B đối với lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $N^p$. Khi đó họ này là khả tổng và tổng của nó được ký hiệu bởi $P(x)$. Chứng minh rằng tập hợp các chuỗi lũy thừa hình thức $P \in A[[X_1, \ldots, X_p]]$ sao cho $x$ có thể thế vào trong $P$ là một vành con S, của $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ và ánh xạ $P \mapsto P(x)$ là một đồng cấu từ S, vào B.

(c) Chứng minh rằng, nếu $x$ có thể thế vào trong $P$ và $y = (y_1, \ldots, y_p)$ là một phần tử của $B^p$ sao cho các $y_i$ là lũy linh tôpô đối với $1 \leq i \leq p$, thì $x + y$ có thể thế vào trong $P$.

Đặc biệt, nếu tồn tại trong B một lân cận của 0 gồm các phần tử lũy linh tôpô, thì, với mọi $P \in A[[X_1, \ldots, X_p]]$, tập hợp D gồm các $x \in B^p$ có thể thế vào trong $P$ là mở và ánh xạ $x \mapsto P(x)$ từ D vào B là liên tục.

(d) Từ nay về sau giả sử rằng A là Hausdorff và đầy đủ và cho $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ được cho tôpô $\mathscr{T}$. Đối với một hệ gồm q chuỗi lũy thừa hình thức $P_1, \ldots, P_q$ của $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ để có thể thế vào trong một chuỗi lũy thừa hình thức

điều kiện cần và đủ là hệ $(P_1(0), \ldots, P_q(0))$ có thể thế vào trong Q.

(e) Giả sử rằng $x$ có thể thế vào trong mỗi $P_k$ ($1 \leq k \leq q$) và hệ $(P_1, \ldots, P_q)$ có thể thế vào trong Q. Chứng minh rằng $x$ có thể thế vào trong $Q(P_1, \ldots, P_q)$, rằng hệ $(P_1(x), \ldots, P_q(x))$ có thể thế vào trong Q và rằng $Q(P_1(x), \ldots, P_q(x)) = ((Q(P_1, \ldots, P_q))(x))$ nếu và chỉ nếu thêm một trong các giả thiết sau đây được thỏa mãn: (a) tồn tại trong B một iđêan n sao cho cặp có thứ tự $(B, n)$ thỏa mãn các điều kiện Hensel và các $x_i$ ($1 \leq i \leq p$) thuộc n; (β) chuỗi lũy thừa hình thức Q bị hạn chế.

(f) Lấy $B = A = \mathbf{F}_2$ với tôpô rời rạc, $P = X + X^2$, $Q = \sum_{n=0}^\infty X^{2^n}$; khi đó $P$ có thể thế vào $Q$, $x = 1$ có thể thế vào $P$ và vào $Q(P)$ và $P(x)$ có thể thế vào $Q$, nhưng $Q(P(x)) = 0$ và $(Q(P))(x) = 1$.