Exercice 1, § 1

a) Soit $A$ un anneau absolument plat (chap. I, § 2, exerc. 17). Montrer que $\operatorname{Ass}(A)$ est l’ensemble des points isolés de $\operatorname{Spec}(A)$ (remarquer que $\operatorname{Ass}(A)$ est l’ensemble des idéaux premiers annulateurs d’un idempotent de $A$).

b) Déduire de a) un exemple d’anneau $A$ tel que $A \neq 0$ et $\operatorname{Ass}(A) = \varnothing$ (cf. chap. II, § 4, exerc. 17), et pour lequel la conclusion du n° 1, cor. 2 de la prop. 2, n’est pas valable.

c) Déduire de b) un exemple d’anneau $A$ et de partie multiplicative $S$ de $A$ tels que l’application $\mathfrak{p} \to S^{-1}\mathfrak{p}$ de $\operatorname{Ass}(A) \cap \Phi$ dans $\operatorname{Ass}(S^{-1}A)$ (n° 2, prop. 5) ne soit pas surjective.