Exercice 11, § 1

a) Soient A un anneau noethérien, E un A-module. Montrer que l’homomorphisme canonique de E dans le produit $\prod_{p \in \mathrm{Ass}(E)} E_p$ est injectif (si N est le noyau de cet homomorphisme, montrer que $\mathrm{Ass}(N) = \varnothing$).

b) On prend pour A l’anneau de polynômes $K[X, Y, Z]$ sur un corps K ; soient $p_1 = AX + AY, p_2 = AX + AZ$, qui sont des idéaux premiers, à l’idéal $p_1 p_2$. L’ensemble $\mathrm{Ass}(A/a)$ est formé de $p_1, p_2$ et de l’idéal maximal $m = p_1 + p_2$; montrer que l’homomorphisme canonique de $E = A/a$ dans $E_{p_1} \times E_{p_2}$ n’est pas injectif.