Exercice 13, § 1

Soient $A$ un anneau noethérien, $E$ un $A$-module de type fini, $p, q$ deux idéaux premiers de $A$ tels que $p \subset q$, $a$ un élément de $q$. On suppose que $p \in \mathrm{Ass}(E)$ et que l’homothétie $a_E$ est injective. Montrer qu’il existe un idéal premier $n \in \mathrm{Ass}(E/aE)$ tel que $p + Aa \subset n \subset q$. (Remplaçant $A$ par $A_q$, on peut supposer $A$ local d’idéal maximal $q$. Soit $F \neq 0$ le sous-module de $E$ formé des $x$ tels que $px = 0$. Montrer que la relation $F \subset aE$ entraînerait $F = aF$ et en tirer une contradiction avec le lemme de Nakayama. Utiliser ensuite la prop. 8 du no 4.)