Exercice 16, § 1

Soit $A$ un anneau noethérien. Pour que $A$ soit isomorphe à un produit fini d’anneaux intègres, il faut et il suffit que pour tout idéal premier $p$ de $A$, l’anneau local $A_p$ soit intègre. (Pour voir que la condition est suffisante, noter d’abord qu’elle entraîne que l’anneau $A$ est réduit ; en déduire que $\{0\} = \bigcap_i p_i$, où les $p_i (1 \leq i \leq n)$ sont les idéaux premiers minimaux de $A$. Montrer que pour $i \neq j$, on a nécessairement $p_i + p_j = A$; pour cela, remarquer que s’il existait un idéal maximal $m$ contenant $p_i + p_j$, l’anneau $A_m$ ne serait pas intègre, en utilisant le cor. 3 de la prop. 2 du no 1, et le cor. de la prop. 5 du no 2.)