Bài tập 16, § 1

Cho A là một vành Noether. Để A đẳng cấu với một tích hữu hạn các miền nguyên, điều kiện cần và đủ là với mọi iđêan nguyên tố p của A, vành địa phương A, là một miền nguyên. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, trước hết chú ý rằng nó kéo theo rằng vành A đó là giảm; suy ra $\{0\} = \bigcap_i p_i$, trong đó các $p_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các iđêan nguyên tố cực tiểu của A. Chứng minh rằng, với $i \neq j$, tất yếu $p_i + p_j = A$; về điều này, chú ý rằng, nếu tồn tại một iđêan cực đại m chứa $p_i + p_j$, thì vành $A_m$ sẽ không là một miền nguyên, dùng Hệ quả 3 của Mệnh đề 2 ở no. 1, và Hệ quả của Mệnh đề 5 ở no. 2.)