Exercice 18, § 1

Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module. Pour qu’un élément $c \in A$ soit tel que, pour tout $a \in A$ tel que l’homothétie $a_M$ soit injective, $b_M$ soit une homothétie injective pour tout $b$ de la forme $a + \lambda c$, avec $\lambda \in A$, il suffit que $c$ appartienne à l’intersection des éléments maximaux de $\mathrm{Ass}_f(M)$ (utiliser l’exerc. 17 b). Cette condition est-elle nécessaire ?