Exercice 5, § 1

Soit $A = K[X, Y]$ l’algèbre des polynômes à deux indéterminées sur un corps commutatif $K$, $a$ l’idéal maximal $AX + AY$ de $A$. Montrer que $\operatorname{Supp}(a) = \operatorname{Spec}(A)$ est infini et $\operatorname{Ass}(a) = \{ 0 \}$. Prouver qu’il n’y a aucune suite de composition de $a$ dont tous les modules facteurs seraient isomorphes à A. (L’existence d’une telle suite entraînerait que a serait isomorphe à un module $A^n$; on aurait nécessairement $n = 1$, ce qui est absurde.)