Exercice 6, § 1

Soient A un anneau, E un A-module.**

a) Montrer que pour qu’un idéal premier $p$ de A appartienne à Supp(E), il faut et il suffit qu’il existe un sous-module F de E tel que $p \in \mathrm{Ass}(E/F)$ (pour voir que la condition est nécessaire, considérer un sous-module F de E de la forme $px$, où $x \in E$; pour voir que la condition est suffisante, utiliser la prop. 7 du no 3).

b) On suppose A noethérien et E de type fini. Montrer que pour tout idéal premier $p \in \mathrm{Supp}(E)$, il existe une suite de composition $(E_i)_{0 \leq i \leq n}$ de E telle que, pour $0 \leq i \leq n - 1$, $E_i/E_{i+1}$ soit isomorphe à $A/p_i$, où $p_i$ est un idéal premier, et où un des $p_i$ est égal à $p$.