Bài tập 6, § 1

Cho A là một vành và E là một A-môđun.

(a) Chứng minh rằng để một iđêan nguyên tố p của A thuộc Supp(E), điều kiện cần và đủ là tồn tại một môđun con F của E sao cho $p \in \operatorname{Ass}(E/F)$ (để thấy rằng điều kiện là cần, xét một môđun con F của E có dạng px, trong đó $x \in E$; để thấy rằng điều kiện là đủ, sử dụng Mệnh đề 7 của no. 3).

(b) Giả sử rằng A là Noether và E sinh hữu hạn. Chứng minh rằng với mọi iđêan nguyên tố $p \in \operatorname{Supp}(E)$, tồn tại một chuỗi hợp thành $(E_i)_{0 \leq i \leq n}$ của E sao cho, với $0 \leq i \leq n - 1$, $E_i/E_{i+1}$ là đẳng cấu với $A/p_i$, trong đó $p_i$ là một iđêan nguyên tố và một trong các $p_i$ bằng p.