Exercice 7, § 1

Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, $a = \mathrm{Ann}(M)$.**

a) Montrer que si $a$ est premier, $a$ est le plus petit élément de $\mathrm{Ass}(M)$.

(Remarquer que $a = \bigcap_{p \in \mathrm{Ass}(M)} p$).

b) Montrer que tout idéal premier associé à $A/a$ est associé à M. (Remarquer que si $p$ est un idéal premier de A, annulateur de la classe dans $A/a$ d’un élément $\alpha \in A$, on a $p = \mathrm{Ann}(\alpha M)$, et utiliser $a$).)

c) Soient $p, q$ deux idéaux premiers distincts de A tels que $p \subset q$. Montrer que si $M = (A/p) \oplus (A/q)$, on a $\mathrm{Ass}(A/a) \neq \mathrm{Ass}(M)$.