Bài tập 7, § 1

Cho A là một vành Noether, M là một A-môđun sinh hữu hạn và $a = \operatorname{Ann}(M)$.

(a) Chứng minh rằng, nếu a là nguyên tố, thì a là phần tử nhỏ nhất của $\operatorname{Ass}(M)$. (Chú ý rằng $a = \bigcap_{p \in \operatorname{Ass}(M)} p$.)

(b) Chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố liên kết với $A/a$ đều liên kết với M. (Chú ý rằng nếu p là một iđêan nguyên tố của A thì linh hóa tử của lớp trong $A/a$ của một phần tử $a \in A$, khi đó $p = \operatorname{Ann}(aM)$ và sử dụng (a).)

(c) Cho p, q là hai iđêan nguyên tố phân biệt của A sao cho $p \subset q$. Chứng minh rằng, nếu $M = (A/p) \oplus (A/q)$, thì $\operatorname{Ass}(A/a) \neq \operatorname{Ass}(M)$.