Exercice 9, § 1

Soient A un anneau noethérien, $a$ un idéal de A.

a) Pour qu’un idéal $b$ de A soit tel que $a : b \neq a$, il faut et il suffit que $b$ soit contenu dans un idéal premier $p \in \mathrm{Ass}(A/a)$.

b) Soit A l’algèbre $K[X, Y, Z]$ des polynômes à 3 indéterminées sur un corps K. Soient $n = AX, m = AX + AY + AZ, a = n \cap m^2$. Montrer qu’il y a un idéal premier $p$ contenant $a$, tel que $a : p \neq a$, mais qui n’est pas un idéal premier associé à A.