Exercice 1, § 2

a) Montrer que dans l’anneau nœthérien $A = \mathbf{Z}[X]$ des polynômes à une indéterminée sur $\mathbf{Z}$, l’idéal $m = 2A + AX$ est maximal et que l’idéal $q = 4A + AX$ est $m$-primaire, mais n’est pas égal à une puissance de $m$.

b) Dans l’anneau $B = \mathbf{Z}[2X, X^2, X^3] \subset A$ qui est nœthérien, montrer que l’idéal $p = 2BX + BX^2$ est premier, mais que $p^2$ n’est pas $p$-primaire, bien que sa racine soit égale à $p$.

c) Soient $K$ un corps commutatif, $A$ l’anneau quotient de $K[X, Y, Z]$ par l’idéal engendré par $Z^2 - XY$; soient $x, y, z$ les images canoniques de $X, Y, Z$ dans $A$. Montrer que $p = Ax + Az$ est premier, que $p^2$ n’est pas primaire et que $p^2 = a \cap b^2$ est une décomposition primaire de $p^2$, où $a = Ax$ et $b = Ax + Ay + Az$.